Comment : Comment faire une division euclidienne ?




Comment faire une division euclidienne ?

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une opération qui, à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur, associe deux autres entiers appelés quotient et reste.

Initialement définie pour deux entiers naturels non nuls, elle se généralise aux entiers relatifs.

Cette division est à la base des théorèmes de l’arithmétique élémentaire, comme celle de l’arithmétique modulaire qui donne lieu à la création des congruences sur les entiers.
On peut aussi définir une division euclidienne sur d’autres ensembles comme l’ensemble des polynômes ou dans certains anneaux

La division euclidienne permet de répondre à des questions du type

  • Distribution équitable :Comment distribuer équitablement 30 billes entre 7 personnes ?
On prend 7 billes que l’on donne à chaque personne. il reste alors 23 billes
On continue en prenant 7 autres billes que l’on distribue à chacune des 7 personnes. Celles-ci possèdent alors chacune 2 billes et il en reste 16 dans le sac
À la dernière étape, chaque personne possède 4 billes et il en reste 2 dans le sac
  • Nombre de parts de taille donnée : Combien de règles de longueur 7 peut-on placer dans une règle de longueur 30 ?
Selon le même raisonnement, on conclut que l’on peut placer 4 règles et qu’il reste 2 cases.

On dit que la division de 30 par 7 a pour quotient 4 et pour reste 2 et l’on écrit

30 = 7 \times 4 + 2\,

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1 En arithmétique
1.1 Première approche
1.2 Division euclidienne dans les entiers positifs
1.3 Division euclidienne dans les entiers relatifs
1.4 Utilisations
2 Division euclidienne dans d’autres ensembles
2.1 Division euclidienne dans l’ensemble des polynômes
2.2 Division euclidienne dans un anneau
3 Algorithmes de calcul
3.1 Méthode naïve
3.2 Méthode binaire
3.3 Méthode décimale
4 Notes et références
5 Voir aussi
5.1 À lire avant
5.2 À lire après

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